Pitágoras

Biografia OpusVida por magui

PAGINAS: 1 2

Demostración de Pappus

La proposición I.36 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.

La demostración de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de Euclides.

Unos 625 años después que Euclides, Pappus4 parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en Elementos I.36:

Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

Partimos del triángulo ABC rectángulo en C, sobre cuyos catetos e hipotenusa hemos construido los cuadrados correspondientes.

Prolongando CH hacia arriba se obtiene el rectángulo CEGI cuya diagonal CG determina en aquél dos triángulos rectángulos iguales al triángulo ABC dado:

Los ángulos agudos GCI y ABC tienen sus lados perpendiculares

El lado CI es igual al lado CB

En consecuencia los triángulos rectángulos ABC, ICG y EGC tienen sus tres lados iguales.

Los paralelogramos ACGF y AHMN tienen la misma base CG=HM, y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s. Por lo tanto tienen la misma superficie (Elementos I.36)

Aplicando el mismo principio a ACGF y ACED –base común AC, y paralelas m y n- resulta que ambos paralelogramos tienen superficies asimismo equivalentes.

De 1) y 2) se sigue que las superficies de ACED y AHMN son iguales.

Análogamente:

CGJB y BLMH tienen la misma base CG=MH, y están comprendidos entre las paralelas s y t. Sus superficies son equivalentes.

CGJB y CIKB tienen base común CB, y están entre las paralelas o y p. Sus superficies son iguales.

De dónde se deduce la equivalencia de las superficies de BLMH y de CIKB.

El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Demostración de Bhaskara

Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del teorema de Pitágoras.

Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, nos da la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).

Redistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha, cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.

Se ha demostrado gráficamente que c2 = a2 + b2

Algebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a-b), es decir:

expresión que desarrollada y simplificada nos da el resultado c2 = a2 + b2, y el teorema queda demostrado.

Demostración de Leonardo da Vinci

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.

En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.

Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ

Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:

A de ADGB y A de CIJA

B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

La Armonía Musical

Pitágoras descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números. Si pulsamos una cuerda tirante obtenemos una nota, cuando la longitud de la cuerda se reduce a la mitad es decir en relación 1:2 obtenemos 1/8. Si la longitud era 3:4 obtenemos la cuarta y si es 2:3 tenemos la quinta.

El estudio del sonido fue el mayor éxito científico atribuido a Pitágoras, descubriendo que las cuerdas de instrumentos musicales producían sonidos de tonos más agudos cuando se las acortaba. Gracias a sus observaciones, el estudio del sonido ha permanecido inalterable hasta nuestros días. Pitágoras pensaba que todo el universo se apoyaba en los números y sus relaciones, procediendo a revestir a los números de ciertas propiedades mágicas, lo que llevó de una manera indirecta a la investigación sobre las propiedades matemáticas de aquellos.

Religión

Afirmaba que las almas eran inmortales y transmigraban, y que conseguían su pureza a través del conocimiento y una serie de prohibiciones. Pitágoras creía firmemente que había habitado en otros cuerpos humanos de épocas anteriores.

La transmigración de las almas

Se puede admitir que Pitágoras aceptó la doctrina de la metempsicosis. El renacimiento religioso había devuelto a la vida la vieja idea del poder del alma y de que su vigor perdura tras la muerte, en contra de la concepción homérica de las sombras de los difuntos como incapaces de articular palabra. Aquí se presenta Pitágoras con algo inaudito. Lo que permanece fuera del cuerpo no es un resto miserable, sino lo verdaderamente vivo. La vida que sigue a la presente no es un pálido reflejo, sino la verdadera y más intensa vida. La existencia terrena del hombre es sólo una de sus vidas posibles y una de las más pequeñas. El alma es lo más alto, prisionero en el cuerpo. El alma va tomando los más distintos cuerpos de todas las cosas que hay en el cosmos. La forma más alta y propia del alma parece haber sido los astros, y donde llega la influencia pitagórica hallamos también la doctrina del parentesco del alma con la sustancia de los astros. El alma es eterna por ser semejante a los astros, y tiene en ellos su verdadera morada.

El alma va tomando los más distintos cuerpos de todas las cosas que hay en el cosmos. Pero el alma tiene en su mano el decidir la clase de cuerpo en el que va a introducirse, y que puede ser el cuerpo de una bestia o de un dios. Por lo tanto las almas podían reencarnarse en forma de seres vivos distintos del hombre, lo que, a su vez, sugiere el parentesco de todos los seres vivos. La versión de Empédocles incluía algunas plantas entre los seres vivos, y, por esta razón se pedía la abstención de las hojas de laurel y de las habas. Es muy posible que también Pitágoras creyera que era posible la reencarnación en forma de planta. Sobre Pitágoras dice Empédocles lo siguiente: «Dice que al pasar él, en una ocasión, junto a un cachorro que estaba siendo apaleado, sintió compasión y dijo: cesa de apalearle, pues es el alma de un amigo que reconocí al oírle gritar». Se piensa que esta doctrina fue aprendida por Pitágoras en el extranjero. Escritores tardíos dicen que visitó a los caldeos, indios brahmanes, los judíos, druidas o celtas. Heródoto sugiere que su teoría proviene de Egipto.

Reglas de abstinencia y otras prohibiciones

La metamorfosis del alma se realiza por necesidad, pero es también un camino de la libre decisión del hombre. Al puro se le da una encarnación en lo puro, y al impuro en lo impuro. Es tarea del hombre comportarse de tal modo que, al abandonar la vida terrena, pueda esperar, volver a nacer en una forma más elevada. De este modo el concepto de pureza es una pieza maestra de la vida pitagórica. De él brotan no sólo preceptos prácticos de vida, sino también, en un posterior desarrollo, dos ciencias que han conservado todavía en el bajo helenismo elementos de su origen: la medicina y la música.

La práctica del silencio, la influencia de la música y el estudio de las matemáticas se consideran valiosas ayudas para la formación del alma. Sin embargo, varias de estas prácticas tuvieron un carácter meramente externo. Si es que Pitágoras prohibió en verdad comer carne, tal prohibición se debería probablemente a la doctrina de la metempsicosis, o estaría, por lo menos, en conexión con ella. Como también lo estaría la prohibición de ofrecer sacrificios sangrientos a la divinidad. El vegetarianismo en la Antigüedad tiene su origen en el pitagorismo.

También prohíbe gustar el vino, las habas, el laurel… Además existen listas transmitidas de preceptos como «no te dejes poseer por una risa incontenible», «no creas nada extraño sobre los dioses o sobre las creencias religiosas» –Preceptos. Son en parte preceptos y en parte símbolos que hay que interpretar. Otros símbolos que utilizaban era llamar al mar «las lágrimas de Cronos», a los planetas «los perros de Perséfone»… y otros tomados y elaborados por el pitagorismo avanzado: la justicia es el número cuatro, la salud o buena fortuna el siete, el matrimonio el cinco.

Su idea de Dios

Protesta contra la imagen de los dioses trazada por la mitología. Es el comienzo de una época nueva en la religión griega. Enseña la existencia de un único Dios que mantiene el mundo unido en la justicia. Este Dios no piensa de manera humana ni tiene forma humana. Su cuerpo es una esfera y la divinidad se manifiesta en el movimiento circular del fuego de los astros.

Astronomía

La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas

Leyendas

De él se creía que oía voces sobrenaturales, podía encantar a los anímales y obrar milagros. Entre la jerga de filósofos se llegó a especular con su estado mental hasta el punto de ser considerado un loco.

Fallecimiento

La muerte de Pitágoras fue debida a una revuelta popular. El pueblo de Crotona pensaba que las tierras conquistadas por una guerra con un pueblo vecino, se iban a entregar a Los pitagóricos. Los amotinados, rodearon la casa de Mitón, taparon las salidas y le prendieron fuego. Pitágoras y muchos de sus discípulos murieron. Los sobrevivientes huyeron y esto sirvió para divulgar sus conocimientos. Las teorías pitagóricas sólo se conocieron a través de sus discípulos.

PAGINAS: 1 2

Daniel Day-Lewis

Biografía de Daniel Day-Lewis Daniel Day Lewis nació el 29 de abril de 1957 en Londres (Inglaterra). Es hijo del […]

Facundo Cabral

Influenciado en lo espiritual por Jesús, Gandhi y La Madre Teresa de Calcuta, en literatura por Jorge Luis Borges y […]

Jiddu Krishnamurti

Aunque todas las noches leía algo de carácter filosófico, no podía resistirse a la tentación de llegar al final cuando […]

Familia Rothschild

En 1963 Edmond James de Rothschild creó la Compagnie Financière Edmond de Rothschild con sede en Suiza. Su inicio como […]