Tales de Mileto

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Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

Una aplicación inmediata de este teorema sería la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a números dados (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundo: Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto. Tales de Mileto

Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostración:

En la circunferencia de centro O y radio r, los segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

2α + 2β = π

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Corolarios

(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.”

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.

(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

Aplicación (Tales – teorema segundo)

El “teorema segundo” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma.

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T’, estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T’ solo basta trazar las rectas TP y T’P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.

Leyenda

Según la leyenda (relatada por Plutarco1 ), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (conocidas como Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A yB) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Obras

Simplicio escribió: Se dice de Tales que no dejó nada escrito, excepto la llamada Astrología Náutica (Simplicio, Fís. 23, 32-33). Si embargo, Diógenes Laercio comenta que Astrología Náutica es una obra de Foco de Samos, pero, que según otros, Tales escribió solo dos obras: Sobre el solsticio y Sobre el equinoccio (D. Laercio, I, 23).

Citas de Tales

Algunas sentencias y versos que Diógenes Laercio le atribuye a Tales son las siguientes:

«Muchas palabras no son signo de ánimo prudente.»

«Busca una sola sabiduría.»

«Elige una sola cosa buena.»

«Quebrantará así la lengua de los charlatanes (mentirosos).»

«Lo más hermoso es el mundo, porque es obra de Dios.»

«Lo más grande es el espacio, porque lo encierra todo.»

«Lo más veloz es el entendimiento, porque corre por todo.»

«Lo más fuerte es la necesidad, porque domina todo.»

«Lo más sabio es el tiempo, porque aclara todo.»

Laercio también asegura que es de Tales el proverbio «Conócete a ti mismo.»

Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto

http://www.filosofia.org/cur/pre/tales.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales

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